OEF Equations différentielles ordre 2
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices sur la résolution d'équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre 2.
Le niveau est celui des classes de BTS industriels du groupe C.
Les exercices dont le titre est précédé de § nécessitent la connaissance des nombres complexes.
Cas 1 : l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes
Cas 2 : l'équation caractéristique a une solution réelle
Cas 3 : l'équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées
Homogène 1
On considère l'équation différentielle :
où
désigne une fonction deux fois dérivable de la variable
. Résoudre cette équation différentielle.
On utilisera les lettres h et k pour désigner les deux constantes.
Dans les réponses, il faut écrire le signe * de multiplication, ou laisser un espace après
et
.
Pour donner la réponse
, on écrira : k*e^(3t) ou k e^(3t), ou encore k exp(3t), mais pas ke^(3t).
Homogène étapes #
On considère l'équation différentielle
où
est une fonction deux fois dérivable de la variable
.
Ecrire l'équation caractéristique (d'inconnue
) associée à cette équation différentielle.
L'équation caractéristique (d'inconnue
) associée à cette équation différentielle est
.
Les solutions de l'équation caractéristique
sont
(les séparer éventuellement par une virgule)
On en déduit que les solutions de l'équation différentielle
sont les fonctions définies par :
On utilisera les lettres h et k pour désigner les deux constantes.
Dans les réponses, il faut écrire le signe * de multiplication, ou laisser un espace après
et
.
Pour donner la réponse
, on écrira : k*e^(3t) ou k e^(3t), ou encore k exp(3t), mais pas ke^(3t).
Homogène conditions initiales 1
Résoudre au brouillon l'équation différentielle
où
est une fonction deux fois dérivable de la variable
. Trouver ensuite la solution
de cette équation différentielle qui vérifie les conditions initiales :
et
.
Homogène 1 étapes
On considère l'équation différentielle
où
est une fonction deux fois dérivable de la variable
.
Ecrire l'équation caractéristique (d'inconnue
) associée à cette équation différentielle.
L'équation caractéristique (d'inconnue
) associée à cette équation différentielle est
.
Les solutions de l'équation caractéristique
sont
(les séparer éventuellement par une virgule)
On en déduit que les solutions de l'équation différentielle
sont les fonctions définies par :
On utilisera les lettres h et k pour désigner les deux constantes.
Dans les réponses, il faut écrire le signe * de multiplication, ou laisser un espace après
et
.
Pour donner la réponse
, on écrira : k*e^(3t) ou k e^(3t), ou encore k exp(3t), mais pas ke^(3t).
Homogène 2
On considère l'équation différentielle :
où
désigne une fonction deux fois dérivable de la variable
. Résoudre cette équation différentielle.
On utilisera les lettres h et k pour désigner les deux constantes.
Dans les réponses, il faut écrire le signe * de multiplication, ou laisser un espace après
et
.
Pour donner la réponse
, on écrira : k*e^(3t) ou k e^(3t), ou encore k exp(3t), mais pas ke^(3t).
Homogène conditions initiales 2
Résoudre au brouillon l'équation différentielle
où
est une fonction deux fois dérivable de la variable
. Trouver ensuite la solution
de cette équation différentielle qui vérifie les conditions initiales :
,
.
Homogène 2 étapes
On considère l'équation différentielle
où
est une fonction deux fois dérivable de la variable
.
Ecrire l'équation caractéristique (d'inconnue
) associée à cette équation différentielle.
L'équation caractéristique (d'inconnue
) associée à cette équation différentielle est
.
Les solutions de l'équation caractéristique
sont
(les séparer éventuellement par une virgule)
On en déduit que les solutions de l'équation différentielle
sont les fonctions définies par :
On utilisera les lettres h et k pour désigner les deux constantes.
Dans les réponses, il faut écrire le signe * de multiplication, ou laisser un espace après
et
.
Pour donner la réponse
, on écrira : k*e^(3t) ou k e^(3t), ou encore k exp(3t), mais pas ke^(3t).
Solution particulière (simple)
Trouver une solution particulière de l'équation différentielle
.
Solution particulière
Trouver une solution particulière de l'équation différentielle
.
Exercice complet (simple)*
est une fonction de la variable
.
Trouver une solution particulière de l'équation différentielle
Il fallait déterminer une solution particulière de
.
NON : vous avez répondu :
.
OUI, c'est exact :
La solution particulière à trouver est la fonction
définie par
.
Les solutions de
sont les fonctions
=
(Les constantes seront notées
et
).
Parmi ces solutions, celle qui vérifie :
est la fonction :
.
Exercice complet*
est une fonction de la variable
.
Trouver une solution particulière de l'équation différentielle
{Exercice complet (simple)*} {fr} {-3..3} {Chantal Causse} {Chantal.Causse@ac-lyon.fr} {yes} {html} {10000} {reply1 reply2,reply3} {var=random(x,t)} {type=random(1,3)} {a1=random(2..10)*random(-1,1)} {a2=random(2..10)*random(-1,1)} {a2==?+1} {a1==2?abs()} {a2==4?abs()} {c1=item(,-()-(),0,-2*(),-2*())} {c0=item(,()*(),()^2,()^2,()^2+()^2)} {n=random(1..4)} {k0=item(,random(1..9)*random(-1,1),random(-9..9),random(-9..9),0,random(-9..9),0,0)} {k1=item(,0,random(1..9)*random(-1,1),random(-9..9),0,0,0,0)} {k2=item(,0,0,random(1..9)*random(-1,1),0,0,0,0)} {k3=item(,0,0,0,random(1..9)*random(-1,1),random(1..9)*random(-1,1),random(-9..9),0)} {k4=item(,0,0,0,0,0,random(1..9)*random(-1,1),0)} {k5=item(,0,0,0,0,0,0,random(1..9)*random(-1,1))} {d= random(1..5)*random(-1,1)} {d= = or = ? (+)/2: } {dvar=texmath(*)} {cvar=texmath(*)} {solp= maxima(expand(*^2+*++(+*)*exp(*)+**exp(*)))} {forme=item(,constante, de la forme
, de la forme
, de la forme
, de la forme
, de la forme
, de la forme
)} {left==0?texmath(y''+*y):texmath(y''+*y'+*y)} {der=diff(,)} {sec=diff(,)} {right = maxima(expand(+*()+*()))} {right=texmath()} {solh1=item(, h*exp(*)+k*exp(*), h*cos(*)+k*sin(*), (h*+k)*exp(*), exp(*)*(h*cos(*)+k*sin(*)))} {solh2=item(, k*exp(*)+h*exp(*), k*cos(*)+h*sin(*), (k*+h)*exp(*), exp(*)*(k*cos(*)+h*sin(*)))} {solg1=maxima(expand( + ()))} {solg2=maxima(expand( + ()))} {b1=randint(-20..20)} {b2=randint(1..20)*random(-1,1)} {solci= evalue(,h=,k=)} {derci=diff(,)} {f0= simplify(evalue(, =0))} {f1= simplify(evalue(, =0))} {
est une fonction de la variable
.
Trouver une solution particulière de l'équation différentielle
Il fallait déterminer une solution particulière de
.
NON : vous avez répondu :
.
OUI, c'est exact :
La solution particulière à trouver est la fonction
définie par
.
Les solutions de
sont les fonctions
=
(Les constantes seront notées
et
).
Parmi ces solutions, celle qui vérifie :
est la fonction :
.
} {
}{}{type=formal}{option = nonstop} {
}{,}{type=formal} {
}{}{type=formal} Les solutions de
sont les fonctions
=
(Les constantes seront notées
et
).
Parmi ces solutions, celle qui vérifie :
est la fonction :
.
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- Description: exercices OEF sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants. exercises interactifs, calcul et tracé de graphes en ligne
- Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, analysis, linear_differential_equation,differential_equation, BTS