Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit $t$ la taille du professeur. L'égalité $t = 184$ cm est vraie !
Soit $m$ la masse du professeur. L'égalité $m = 24$ kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple

7 x + 108 = 19 x

. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à

x

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus :

7 x + 108 = 19 x

. L'égalité est-elle vraie si

x = 10

? si

x = 9

Quand $x = 10$ , on donne 10 comme valeur particulière de $x$ dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
$7 x + 108 = 7 \times 10 + 108$ , soit 178 et pour l'autre membre, $19 x = 19 \times 10$ soit 190. Les nombres 178 et 190 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour $x = 10$ . On dit aussi que 10 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour $x = 9$ .
Pour le membre de gauche : $7 x + 108 = 7 \times 9 + 108$ soit 171. Et pour l'autre membre, $19 x = 19 \times 9$ soit 171. Quand $x = 9$ , les deux membres sont égaux ; on dit que 9 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 0$ soit vraie ?
[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 1$ soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

n - 8 = 10

, on procède ainsi :

\begin{matrix} n - 8 & = & 10 \\ n - 8 + 8 & = & 10 + 8 \\ n & = & 18 \end{matrix}

La solution de l'équation est

n = 18

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

k + 8 = 24

, on procède ainsi :

\begin{matrix} k + 8 & = & 24 \\ k + 8 - 8 & = & 24 - 8 \\ k & = & 16 \end{matrix}

La solution de l'équation est

k = 16

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

5 t = 33

, on procède ainsi :

\begin{matrix} 5 t & = & 33 \\ \frac{5 t}{5} & = & \frac{33}{5} \\ t & = & 6, 6 \end{matrix}

La solution de l'équation est

t = 6, 6

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

\frac{c}{12} = 7

, on procède ainsi :

\begin{matrix} \frac{c}{12} & = & 7 \\ \frac{c}{12} \times 12 & = & 7 \times 12 \\ c & = & 84 \end{matrix}

La solution de l'équation est

c = 84

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit $x$ ce que l'on cherche .
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a cinq fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 10 à la somme de leur âge, on trouve un 88.

Solution

Choix de l'inconnue Soit $x$ l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a cinq fois son âge, donc son âge est de : $5 x$ ;
  La somme de leur âge est donc de $5 x + x = 6 x$ .
  Si on ajoute 10 à la somme de leur âge, on trouve 88, d'où l'équation $6 x + 10 = 88$
- Résolution
  $\begin{matrix} 6 x + 10 & = & 88 \\ 6 x & = & 88 - 10 \\ 6 x & = & 78 \\ x & = & \frac{78}{6} \\ x & = & 13 \end{matrix}$
Augustin a donc 13 ans. (Bonus : son père a 65 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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