OEF 多项式 --- 介绍 ---

本模块目前包含 32 个关于实或复系数单变量多项式的练习: 根, 次数, 复合, 带余除法, ...

与导数的最大公因式次数

设 P(x) 是一个 次系数多项式, 它有 个不同的实根和 个不同的复根 (不计重数). 设 P'(x) 是 P(x) 的导数. 问 gcd(P(x),P'(x)) 的次数是多少?

有重根的最小次数

满足以下条件的系数多项式 P(x) 的最小次数是多少? 如果你认为这样的多项式不存在. 则回答 -1.

和的次数

设 () 和 () 是两个多项式. 问:

若 deg()= 及 deg()=, 则 是一个多项式, 它的次数为

差分方程

求多项式 () 使得

()-() = 2

且 ()=.

我们用 x^3 代表 3, 如此类推.

3 次多项式的重根

以下多项式有一个重根. 试求出这个根.

4 次多项式的重根

以下多项式有一个重根. 试求出这个根.

5 次多项式的重根

以下多项式有一个重根. 试求出这个根.

6 次多项式的重根

以下多项式有一个重根. 试求出这个根.

已知与导数的最大公因式

求出多项式 () 使得: 你输入的多项式写成因式乘积或展开的形式均可接受. 我们用 x^3 代表 3, 如此类推.

已知3次多项式的根

求多项式

P() = 32 ,

已知 和 是实数, 是一个根.

与2阶导数的最大公因式的最小次数

设 P(x) 是一个 次系数多项式, 它有 个不同实根与 个不同复根 (不计重数). 设 P''(x) 是 P(x) 的 2 阶导数. 问最大公因式 gcd(P(x),P''(x)) 次数的最小值是多少?

与高阶导数的最大公因式的最小次数

设 P(x) 是一个 次系数多项式, 它有 个不同实根与 个不同复根 (不计重数). 设 P()(x) 是 P(x) 的 阶导数. 问最大公因式 gcd(P(x),P()(x)) 次数的最小值是多少?

3 次多项式根的重数

是以下多项式的一个根. 求它的重数.

4 次多项式根的重数

是以下多项式的一个根. 求它的重数.

5 次多项式根的重数

是以下多项式的一个根. 求它的重数.

6 次多项式根的重数

是以下多项式的一个根. 求它的重数.

3 次含参数多项式的重根

求 的一个值使以下多项式有一个重根, 并求出这个重根.

警告. 本练习的回答中不能有近似数! 解都是整数. 找找看.

4 次含参数多项式的重根

求 的一个值使以下多项式有一个重根, 并求出这个重根.

警告. 本练习的回答中不能有近似数! 解都是整数. 找找看.

2次参数方程

参数 取什么实数值时, 多项式

()2 + (2) +

有? (假设 ne 0.)

2次参数方程 II

参数 取什么实数值时, 多项式

()2 + () + ()

有一个根 ? (假设 ne 0.)

2次多项式的复根

求以下多项式的两个根

P() = 2 + () + ().

根 , 的次序可以任意.

2次多项式根的函数

设 , 是以下多项式的 2 个根

2  ,

其中 是实数. 问 t = 2+2  的值是什么? (这个值是 的函数.)

3次多项式根的函数

设 , , 是以下多项式的 3 个根

3 2  ,

其中 是非零实数. 问 t =   的值是什么? (这个值是 的函数.)

2次多项式根的实部

设 P() = 2 + 是有一对共轭复根的实系数多项式. 问根 r 的实部是什么?

用导数计算根的个数

设 P(x) 是 次系数多项式, 且设 P'(x) 是 P(x) 的导数. 已知 gcd(P(x),P'(x)) 是一个 次多项式. 问 P(x) 的不同的根的个数是多少? (包括实根与复根)

复合多项式的根

设 () 是多项式, () = 2 是另一多项式. 考虑复合多项式 (()) 和 (()). 填空:

若 是 的一个根, 则.

2次多项式的实根

求以下多项式的两个根 r1, r2

2  .

(根是实数, 次序不计.)

和或积的根的重数

设 () 和 () 是两个多项式. 填空:

若 是 () 的 重根也是 () 的 重根, 则 是 的 ________ 重根.

2次多项式根的情况

以下二次多项式有怎样的根?

2

三项式的因式分解

因式分解 .

第 1 步. 你把 项化成完全平方:

= ( )2.
我们有 .

第 2 步. 所以

-
= - 2 .
所以

-
=

第 3 步. 现在我们应用公式 ( )( ).

结果: . (你应该输入化简后的表达式.)

3次多项式的三重根

在以下多项式里参数 和 取什么实数值时会有三重根

P() = 3 + 2 + + (-) ?

3次多项式的三重根 II

在以下多项式里参数 和 取什么实数值时会有三重根

P() = 3 2 +(++) ?

(可有多个解.)

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